Arvusüsteemid
Kusagil algklassides õppisite, et arvus on olemas üheliste, kümneliste, sajaliste jne. kohad ehk positsioonid. Siiani oleme harjunud, et ühes positsioonis võib olla suvaline number 0 kuni 9. Meile mõistetavad arvud nägid välja näiteks nii:
3 456 789
Positsioonide väärtuseid hakkasime lugema täisarvu piirilt ehk koma kohast eemale.
Nii on näites üheliste kohal 9, kümneliste kohal 8 jne. Sellist väärtuste kirjutamise süsteemi, kus tähise väärtus sõltub tema asukohast arvus nimetatakse positsiooniliseks süsteemiks. Meile on praegu kõige tuntum 10-nend süsteem. Arvan, et ehk sellepärast, et omame kõik kümmet sõrme.
Kas on olemas ka mittepositsioonilisi süsteeme? On. Tuntumaks vast rooma numbrid.
Edaspidi vaatleme vaid positsioonilisi süsteeme ja nende omavahelisi teisendusi.
Vaatlemise alla jäävate süsteemide lühiiseloomustused:
Süsteemi nimi |
kasutatavad numbrid |
süsteemi alus |
kasutus |
10-nd süsteem |
0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 |
10 |
Tava matemaatika |
2-nd süsteem |
0,1 |
2 |
bitt-arvutused |
8-nd süsteem |
0,1,2,3,4,5,6,7 |
8 |
poolbait arvutused |
16-nd süsteem |
0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F |
16 |
värvikombinatsioonid |
Vaata ka arvusüsteemide samaväärsete väärtuste tabelit
Väärtuste arvutamine
Selleks, et väärtuseid (ja süsteeme) mitte segi ajada tähistame alaindeksiga arvusüsteemi mida parajasti kasutame.
23410 on siis kümnendsüsteemi arv. Kuidas me arvutame tema väärtust?
23410 = 4* 100 + 3* 101 + 2* 102 = 4 + 30 + 200
Kui püüame leida üldist valemit saame
… an*10n-1+ …. + a3*102+a2*101+a1*100 ehk ai*10i-1 , kus
i on positsiooni loendaja; ai on arvu i-nda positsioonil asuv number. Märk tähistab aga summat üle kõikvõimalike väärtuste.
Tuletan meelde positsioone lugesime komast eemale!
Kui meil on mõne teise vaadeldava süsteemi arv siis tema väärtuse 10-nd süsteemis saame analoogselt. Asendades tuletatud valemis 10-ne vastava süsteemi alusega.
Näited:
1010112 = 1*20+1*21+0*22+1*23+0*24+1*25 = 1 + 2 + 0 + 8 + 0 + 32 = 4310
1568 = 6*80+5*81+1*82 = 6 + 40 + 64 = 11010
1A716 = 7*160+10*161+1*162 = 7 + 160 + 256 = 42310
Kuidas 10-nd süsteemi arvust saada mõne teise arvusüsteemi arv?
Reegel on korduv (kuni tulemini 0) jäägiga jagamine uue süsteemi alusega.
Näited:
2710 on vaja teisendada 2-nd süsteemi
Lahti seletus 27 jagame 2-ga. Saame 13 ja jäägiks 1. Nüüd jagame 13 2-ga. Saame 6 ja jäägiks 1. Saadud tulemi 6 jagame 2-ga ja saame 3, jäägiks 0. 3 jagame 2-ga saame tulemiks 1 ja jäägiks 1. Nüüd jagame 1 2-ga ja saame tulemiks 0 ja jäägiks üks. Teisenduse loeme kokku nn alt-üles meetodil ehk kõige viimane jääk on kõige suuremal positsioonil.
Seega 2710 = 110112
3710 on vaja teisendada 8-nd süsteemi
3710 = 458
15610 on vaja teisendada 16-nd süsteemi
15610 = 9C16
Kui oled sellel lehel olevast materjalist aru saanud, uuri otseteisendusi.