Arvusüsteemid

Kusagil algklassides õppisite, et arvus on olemas üheliste, kümneliste, sajaliste jne. kohad ehk positsioonid. Siiani oleme harjunud, et ühes positsioonis võib olla suvaline number 0 kuni 9. Meile mõistetavad arvud nägid välja näiteks nii:

3 456 789

Positsioonide väärtuseid hakkasime lugema täisarvu piirilt ehk koma kohast eemale.

Nii on näites üheliste kohal 9, kümneliste kohal 8 jne. Sellist väärtuste kirjutamise süsteemi, kus tähise väärtus sõltub tema asukohast arvus nimetatakse positsiooniliseks süsteemiks. Meile on praegu kõige tuntum 10-nend süsteem. Arvan, et ehk sellepärast, et omame kõik kümmet sõrme.

Kas on olemas ka mittepositsioonilisi süsteeme? On. Tuntumaks vast rooma numbrid.

Edaspidi vaatleme vaid positsioonilisi süsteeme ja nende omavahelisi teisendusi.

Vaatlemise alla jäävate süsteemide lühiiseloomustused:

Süsteemi nimi

kasutatavad numbrid

süsteemi alus

kasutus

10-nd süsteem

0,1,2,3,4,5,6,7,8,9

10

Tava matemaatika

2-nd süsteem

0,1

2

bitt-arvutused

8-nd süsteem

0,1,2,3,4,5,6,7

8

poolbait arvutused

16-nd süsteem

0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F

16

värvikombinatsioonid

Vaata ka arvusüsteemide samaväärsete väärtuste tabelit

Väärtuste arvutamine

Selleks, et väärtuseid (ja süsteeme) mitte segi ajada tähistame alaindeksiga arvusüsteemi mida parajasti kasutame.

23410 on siis kümnendsüsteemi arv. Kuidas me arvutame tema väärtust?

23410 = 4* 100 + 3* 101 + 2* 102 = 4 + 30 + 200

Kui püüame leida üldist valemit saame

… an*10n-1+ …. + a3*102+a2*101+a1*100 ehk ai*10i-1 , kus

 

i on positsiooni loendaja; ai on arvu i-nda positsioonil asuv number. Märk tähistab aga summat üle kõikvõimalike väärtuste.

Tuletan meelde positsioone lugesime komast eemale!

Kui meil on mõne teise vaadeldava süsteemi arv siis tema väärtuse 10-nd süsteemis saame analoogselt. Asendades tuletatud valemis 10-ne vastava süsteemi alusega.

Näited:

1010112 = 1*20+1*21+0*22+1*23+0*24+1*25 = 1 + 2 + 0 + 8 + 0 + 32 = 4310

1568 = 6*80+5*81+1*82 = 6 + 40 + 64 = 11010

1A716 = 7*160+10*161+1*162 = 7 + 160 + 256 = 42310

 

Kuidas 10-nd süsteemi arvust saada mõne teise arvusüsteemi arv?

Reegel on korduv (kuni tulemini 0) jäägiga jagamine uue süsteemi alusega.

Näited:

2710 on vaja teisendada 2-nd süsteemi

Lahti seletus 27 jagame 2-ga. Saame 13 ja jäägiks 1. Nüüd jagame 13 2-ga. Saame 6 ja jäägiks 1. Saadud tulemi 6 jagame 2-ga ja saame 3, jäägiks 0. 3 jagame 2-ga saame tulemiks 1 ja jäägiks 1. Nüüd jagame 1 2-ga ja saame tulemiks 0 ja jäägiks üks. Teisenduse loeme kokku nn alt-üles meetodil ehk kõige viimane jääk on kõige suuremal positsioonil.

Seega 2710 = 110112

3710 on vaja teisendada 8-nd süsteemi

3710 = 458

15610 on vaja teisendada 16-nd süsteemi

15610 = 9C16

 

Kui oled sellel lehel olevast materjalist aru saanud, uuri otseteisendusi.